美国耶鲁大学毕业证分析:爱上神奇的数学
作为一个数学家，我可以作证，这个领域的关键是理念。这些理念报知我们的存在，渗透到我们的宇宙乃至以外，令我们惊喜或是陶醉，也许它们最耐人寻味的地方是如何利用“无限”来处理“有限”，从分形学到微积分学，莫不如此。只需想想十进制数字的无限范围，这可是数学提供的一个奇迹产品，可以满足测量方面的一切需要，准确到任意位数。
大多数人都不明白，欣赏很多深奥的数学理念其实并不需要高级技能。你无需真正掌握微积分，用它来解决科学或工程问题，就可以理解它的威力和优雅。
不妨这样来想：你不需要会绘画就可以欣赏画作，不需要识谱就可以欣赏交响乐。数学也应该因其本身而得到欣赏，而不应总是被追问“我什么时候能用得上这个？”
可悲的是，在我们的社会中，让我们领略数学之美的途径极为稀少。在学校里，正如我听到一些老师感慨的那样，让学生沉浸在有趣数学理念的机会通常会被放弃，以便有更多的时间来做测验和算术练习。在新闻媒体或文化领域，很少会出现数学这个主题。很多时候，当数学出现在一部小说或电影中时，我就会想起契诃夫谚语中的枪（“假如不打算开火，就别让一支上膛的来福枪出现。” ——编注）：如果一个数学家不发疯，就别让他出场。对数学的焦虑感，像厚厚的阴霾一样笼罩着万事万物。
但是，我不断遇到一些人想更多地了解数学。他们中不仅有那些在学校里就喜欢数学，工作之后再没机会探究的人，也有很多在学校里数学成绩不佳，把这门课视为挥之不去的挑战的人。正如斯坦福大学数学家基思·德夫林(Keith Devlin)在其著作《数学基因》(The Math Gene)中所说的那样，人类天生就有探索数学奥秘的冲动。也许我们在某种层面上都渴望了解数学。
那么，在没有计算和公式的情况下，我们可以欣赏什么样的数学理念呢？我发现数字的起源就很耐人寻味。你可以把它想成一个魔术：从空白中产生数字零，然后演示如何从任何一个整数产生下一个整数。零而一，一而二，二而三——一个个数字连锁反应般地爆发出来，我仍然记得自己第一次体验这种数字大爆炸的情形：我所在的孟买教室的墙壁似乎被炸飞，而新生的飞鸟在空间穿行。无中生有，其引人入胜的程度不亚于物理学或宗教提供的任何这类理念。
再举一个更具沉思色彩的例子。你凝视一个正多边形序列：六边形、八边形、十边形，以此类推。我几乎能想象出一位瑜伽教练，正在让学生们冥想：如果边数无限增加下去，会发生什么情况。最终，每条边都缩减得非常之短，角开始变得圆滑，周边开始显出曲线，然后你就会看到一个圆出现，而与此同时，多边形永远不可能真正成为一个圆。意识到这一点令人感到很爽，因为它会点亮你大脑中的愉悦中心。在这个例子中，根本层面的极限概念正是微积分学的基础之一。
你越深入地思索这些理念，这种经历带来的回报就越多。比如，看那些精美的分形图形，就是那些被容易引起幻觉的色带环绕着的、像变形虫一样的黑色斑点，几乎不足以让你产生数学方面的联想。但假如你知道，这样一幅图（比如，朱利亚集合[Julia Set]）描述了一个数学规则，这个规则会让平面上的每一个点脱离所在的位置，并将其移动到另一个位置。想象这一规则会一次又一次地得到应用，这样，每个点都会从一个地方跳到另一个地方。那么，“变形虫”就是由那些乖乖的、依然在这一片黑色区域里四处乱跳的点组成的，而那些彩色的点更有冒险精神，它们大步跳向无穷远的方向。具备这种知识后，这幅图不仅更丰富，更有意义，而且突然间洋溢着戏剧和活力。
你有足够的兴趣去寻找更多知识吗，比如，不同色度的颜色有何寓意？“大爆炸”的例子会让你思考负数、分数或无理数来自哪儿吗？意识到圆形是多边形的一种极限带来的兴奋，会促使你把球体想象成一叠圆形横截面吗，就像阿基米德(Archimedes)在2000多年前为了计算球体的体积所做的那样？
如果答案是肯定的，那么欣赏数学带来的可能不只是茶余饭后的享受：它还有望帮助转变代代相传的对这门课的消极态度。学生更有可能在一门被认为好玩、富有启迪性，而不是公关形象糟糕的学科上取得成功。
幸运的是，当今的网络世界在视频和动画领域取得了诸多进步，为数学理念的非正式传播提供了一些机会，尽管对这些机会的利用还不够充分。要传递的最基本的一点也许是，借助数学，你不仅能够企及天空、恒星或是宇宙的边际，还能超越它们，接触到永恒的理念星河。
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